Análisis de pórticos planos con diagramas, reacciones y deformada

El pórtico se resuelve por el método de rigidez directa. Cada nudo tiene tres desplazamientos: uno según x, otro según y y un giro. Cada barra aporta una matriz de rigidez de 6 × 6 escrita en sus propios ejes. EA/L une los dos extremos en sentido axial. 12EI/L³ es la fuerza transversal en un extremo para un desplazamiento transversal unitario de ese extremo, 6EI/L² la fuerza transversal para un giro unitario (o el momento para un desplazamiento unitario), 4EI/L el momento en un extremo para un giro unitario del mismo extremo, y 2EI/L el momento que ese giro induce en el extremo lejano. La matriz se gira a los ejes globales con los cosenos directores de la barra y se suma a la matriz del pórtico en las filas de sus dos nudos.

Una carga que actúa sobre una barra se reemplaza primero por sus fuerzas de empotramiento perfecto, las fuerzas y momentos que mantendrían inmóviles ambos extremos de la barra: wL²/12 en cada extremo para una carga uniforme w sobre la longitud L, PL/8 para una carga puntual P a media longitud y, para P a distancias a y b del primer y del segundo extremo, Pab²/L² y Pa²b/L² en ellos. Sus opuestos se aplican a los nudos junto con las cargas nodales. Un cambio de temperatura, un gradiente y un par se llevan a los nudos de la misma manera.

Una rótula en el extremo de una barra se trata por condensación estática: el giro propio de la barra en ese extremo se elimina de su matriz y de sus fuerzas de empotramiento, de modo que la barra no transmite momento a ese nudo y gira allí con independencia de él. Cuando todas las barras de un nudo tienen rótula en él, el giro del nudo queda indeterminado y el análisis lo advierte.

Los apoyos se eliminan, no se imitan con resortes muy rígidos. Un empotramiento quita los tres desplazamientos de su nudo, una articulación quita las dos traslaciones, y un rodillo quita la traslación según una recta, la de su reacción, con el ángulo que usted dé: el desplazamiento del nudo se reescribe en la dirección que queda sin restricción, y por eso un rodillo inclinado es tan exacto como uno horizontal. Una guía quita esa traslación y el giro, y desliza en el sentido transversal. Un resorte suma su rigidez a la matriz del pórtico, y un asentamiento es un desplazamiento impuesto en el nudo, cuyo efecto sobre el resto del pórtico entra como carga.

El sistema reducido se resuelve para los desplazamientos de los nudos, las fuerzas en los extremos de cada barra salen de sus desplazamientos extremos y de sus cargas, y las reacciones salen del equilibrio de los nudos apoyados. Los diagramas no se interpolan entre nudos: N, V y M en cada punto de una barra se escriben a partir de sus fuerzas extremas y de sus propias cargas, tramo por tramo, de modo que una carga puntual o un par aparece como un salto y una carga distribuida como una recta o una curva del grado correcto. La deformada de una barra se obtiene integrando M/EI dos veces a lo largo de ella desde los desplazamientos de sus extremos.

Antes de resolver se comprueba la estabilidad del pórtico, que depende de la geometría, de las rótulas y de los apoyos, no de los valores de E, A o I, y se cuenta su grado de indeterminación: 3 por cada barra más las componentes de reacción, menos 3 ecuaciones por cada nudo (2 en un nudo cuyas barras tienen todas rótula) y menos 1 por cada rótula. Un grado de 0 es isostático: las fuerzas salen del equilibrio solo y no dependen de E, A ni I, de modo que sin propiedades de sección se dan igualmente las fuerzas y las reacciones y no los desplazamientos. Un grado mayor que 0 es hiperestático, y entonces las fuerzas internas varían con la rigidez relativa de cada barra. Después de la solución se comprueban las sumas ΣFx, ΣFy y ΣM de cargas y reacciones y el equilibrio de cada nudo, y un pórtico que no queda en equilibrio dentro de la tolerancia no se muestra.

Cuatro grupos de pórticos con respuesta de libro de texto, para comparar con los números de la calculadora.

Una viga de longitud L empotrada en un extremo y con rodillo en el otro, bajo w por unidad de longitud hacia abajo: el rodillo toma 3wL/8, el empotramiento 5wL/8, el momento en el empotramiento es wL²/8 negativo, y el mayor momento positivo es 9wL²/128, a 3L/8 del rodillo. Con los dos extremos empotrados los momentos extremos son wL²/12 negativos y el momento a media longitud wL²/24 positivo.

Un pórtico con pies empotrados, columnas iguales de altura h, luz L y una viga tan rígida, a flexión y en sentido axial, que sus nudos no giran, bajo una carga horizontal H en la viga: cada columna toma H/2 como cortante, el momento es Hh/4 en el pie y en la cabeza de cada una, y los pies llevan reacciones verticales de Hh/(2L), una hacia arriba y otra hacia abajo.

Una viga empotrada en ambos extremos con un apoyo asentado Δ y sin carga: los momentos extremos son 6EIΔ/L² y el cortante 12EIΔ/L³. Una barra sujeta en sus dos extremos por apoyos que no se mueven, calentada de manera uniforme ΔT, soporta la compresión N = −EAαΔT y ninguna flexión.

Un pórtico a dos aguas con tres rótulas, articulado en ambos pies y con una rótula en la cumbrera, de luz L y flecha f, con w por cada unidad de su proyección horizontal: el empuje horizontal en cada pie es wL²/(8f) y la reacción vertical wL/2.