Matriz de rigidez, paso a paso, de cerchas y pórticos planos

El método de rigidez directa convierte una estructura entera en una sola ecuación matricial, K·u = P + R, y la resuelve. K es la matriz de rigidez global, la de toda la estructura, u los desplazamientos de todos sus nudos, P las cargas aplicadas en ellos y R las fuerzas que añaden los apoyos. La herramienta trabaja como se hace a mano y muestra cada paso, con sus números, sus símbolos y las celdas que importan señaladas. Lo que sigue es el mismo método, en el orden en que la herramienta lo presenta.

Primero van los grados de libertad (GDL; las fórmulas de la herramienta los llaman DOF), paso 1. Un nudo de cercha tiene dos, un desplazamiento según x y otro según y; uno de pórtico tiene un tercero, su giro. Se numeran nudo por nudo: el nudo n tiene los GDL 2n − 1 y 2n en una cercha, y 3n − 2, 3n − 1 y 3n en un pórtico. Ese orden es el de las filas y las columnas de toda matriz global y de todo vector global, de modo que el número de una fila dice de qué movimiento se trata. Un GDL que un apoyo sujeta es restringido; todos los demás son libres.

Cada barra se toma primero en ejes propios (pasos 2 y 3), con x̄ a lo largo de ella desde su primer nudo i hasta el segundo nudo j. Una barra de cercha, que lleva solo fuerza axial, tiene un movimiento en cada extremo y su matriz es k = (EA/L)·[1 −1; −1 1], donde E es el módulo, A el área y L la longitud. Una columna de cualquier matriz de rigidez es el conjunto de fuerzas que mantiene a la barra en la forma de un movimiento unitario, con todos los demás nulos. Aquí, la primera columna dice que acortar la barra una unidad exige un empuje de EA/L en cada extremo.

Una barra de pórtico es una viga-columna con seis movimientos, un desplazamiento según x̄, otro según ȳ y un giro en cada extremo, y su matriz es de 6 × 6. Se compone de cinco números: EA/L para los términos axiales y, para la flexión, 12EI/L³, 6EI/L², 4EI/L y 2EI/L, y cada celda toma el signo que le da su posición. Si el primer extremo se desplaza una unidad en sentido transversal, la barra responde con un cortante de 12EI/L³ y un momento de 6EI/L² en ese extremo. Si gira una unidad, el momento allí es 4EI/L, y 2EI/L en el extremo lejano.

Las barras apuntan en todas direcciones, así que antes de sumar cada una hay que llevarla a los ejes globales (pasos 4 y 5). Con c = cosθ y s = senθ para la dirección de la barra, que apunta del nudo i hacia el nudo j, los movimientos de extremo en ejes globales dan los locales mediante u_local = T·u_global. La matriz T, de transformación, contiene c y s; para una barra de pórtico es [c s 0; −s c 0; 0 0 1] en cada extremo, pues un giro es el mismo en cualquier juego de ejes. La matriz de la barra en ejes globales es K_e = T^T·k·T, con T^T la transpuesta de T. Para una barra de cercha es (EA/L)·[c² cs −c² −cs; cs s² −cs −s²; −c² −cs c² cs; −cs −s² cs s²], que la herramienta imprime junto al producto como segunda vía hacia las mismas cifras.

El ensamblaje suma las barras (paso 6). Cada barra tiene un vector de código: los números de los GDL globales a que corresponden sus propios GDL, en orden, como [1 2 5 6] para una barra del nudo 1 al nudo 3. El término de la fila a y la columna b de K_e se suma a K en la fila código(a) y la columna código(b), K ← K + K_e. Dos barras que concurren en un nudo suman ambas en las celdas de los GDL de ese nudo, y su suma es la rigidez que el nudo ofrece a ese movimiento. La herramienta muestra la contribución de cada barra, la K acumulada después de ella y, al final, la K completa con señaladas las celdas a las que llegó más de una barra.

Siguen las cargas (paso 7). Una carga en un nudo va al vector de cargas P, en el GDL según el cual actúa, y un par en un nudo va a su giro. Una carga sobre una barra (en modo pórtico) puede ser uniforme en toda su longitud, puntual o axial, cada una según los ejes propios de la barra. Se sustituye por las fuerzas de empotramiento perfecto f_FE: lo que ejercerían dos empotramientos para que ninguno de los extremos se mueva. Una carga uniforme w da wL/2 y wL²/12 (en magnitud), una carga axial q da qL/2 según la barra en cada extremo, y una carga puntual P, con a y b las distancias al primer y al segundo extremo, da Pb²(3a+b)/L³ y Pab²/L² en el primero y Pa²(a+3b)/L³ y Pa²b/L² en el segundo. Las cargas nodales equivalentes, −T^T·f_FE, son su opuesto en ejes globales y se suman a P; las fuerzas de extremo de la barra recuperan f_FE al calcularse.

Los GDL se separan después en libres (F) y restringidos (R), y K, P y u se cortan en bloques acordes (paso 8). Las filas libres dan K_FF·u_F = P_F − K_FR·u_R (paso 9). Aquí u_R contiene lo que permiten los apoyos: cero, salvo que a un apoyo se le dé un asentamiento, que actúa entonces como una carga, −K_FR·u_R. Las filas restringidas se guardan para más adelante, cuando dan las reacciones.

Esta ecuación reducida se resuelve por eliminación de Gauss, sin intercambiar filas (paso 10). En la columna k el pivote a_kk es el término diagonal; para cada fila i inferior, l_ik = a_ik/a_kk es el múltiplo de la fila k que se resta, a_ij ← a_ij − l_ik·a_kj, y deja ceros bajo el pivote. Con la matriz triangular, las incógnitas salen de abajo hacia arriba por sustitución hacia atrás, u_k = (b_k − Σ a_kj·u_j)/a_kk. No hace falta intercambiar filas porque K_FF es simétrica y definida positiva cuando la estructura es estable, y entonces todos los pivotes son positivos.

Un pivote menor que una milmillonésima del término diagonal con que empezó se toma como cero. Significa que nada en la estructura se opone a cierto movimiento: las barras pueden girar sin alargarse ni acortarse, y eso es un mecanismo. La herramienta se detiene allí, muestra los pasos resueltos hasta entonces y nombra el GDL. Si el menor pivote es menor que una millonésima de su valor inicial pero mayor que una milmillonésima, la estructura se resuelve con una advertencia: es casi un mecanismo, y sus desplazamientos varían mucho si una sola rigidez cambia aunque sea poco.

Los desplazamientos de los GDL libres y los impuestos forman el vector u completo (paso 11). Las reacciones salen de las filas restringidas, R = K_RF·u_F + K_RR·u_R − P_R, una por cada GDL restringido (paso 12). Una reacción es la fuerza o el momento que un apoyo aplica a la estructura.

Cada barra toma luego sus movimientos de extremo u_e de u por su vector de código, los lleva a ejes locales, u_local = T·u_e, y los multiplica por su matriz, f = k·u_local, a lo que suma f_FE si lleva carga (paso 13). En una barra de cercha, N = (EA/L)(u_j − u_i) en ejes locales; la herramienta da además el esfuerzo N/A y el alargamiento. En una barra de pórtico, N, V y M en ambos extremos salen de f con los signos que se dan más abajo.

El paso 14 somete la respuesta a prueba. Se suman cargas y reacciones según x, según y y como momento respecto del centro del recuadro que encierra los nudos; se comprueba el equilibrio de cada nudo con las fuerzas de extremo de las barras que concurren en él; la energía de deformación U = ½·u^T·K·u se compara con el trabajo ½·u^T·P + ½·u_R^T·R; y se lee K·u − P − R en cada GDL, junto con el residuo de la propia eliminación. Cada una se mide contra el tamaño de los términos que la componen, con un límite de una cienmillonésima. Una estructura en la que alguna de ellas no se alcanza se rechaza por mal condicionada, y no se dan resultados para ella.

Un primer caso resuelto es la cercha de dos barras que la página muestra al abrirse. Los nudos 1, 2 y 3 están en (0, 0), (16, 0) y (8, 6) ft. La barra 1 une los nudos 1 y 3, la barra 2 une los nudos 2 y 3, y los nudos 1 y 2 son articulados. Ambas barras tienen E = 29 000 ksi y A = 10 in², y el nudo 3 lleva 20 kip hacia la derecha y 30 kip hacia abajo.

Cada barra mide 10 ft, de modo que EA = 290 000 kip y EA/L = 29 000 kip/ft. La barra 1 tiene c = 0.8 y s = 0.6; la barra 2 va del nudo 2 hacia arriba al nudo 3, así que c = −0.8 y s = 0.6. Los GDL son 1 y 2 en el nudo 1, 3 y 4 en el nudo 2, y 5 y 6 en el nudo 3, de modo que los vectores de código son [1 2 5 6] y [3 4 5 6]. En los GDL 5 y 6, la barra 1 suma 29 000 × [0.64 0.48; 0.48 0.36] y la barra 2 suma 29 000 × [0.64 −0.48; −0.48 0.36]. Los términos cruzados se cancelan, y K_FF = [37 120 0; 0 20 880] kip/ft.

Con P_F = [20; −30] kip y los apoyos sin moverse, no hay nada bajo la diagonal que eliminar: u_5 = 20/37 120 y u_6 = −30/20 880, que son 0.00647 in hacia la derecha y 0.01724 in hacia abajo. Las reacciones son R_1 = 10, R_2 = 7.5, R_3 = −30 y R_4 = 22.5 kip. N = (EA/L)(u_j − u_i) vale −12.5 kip en la barra 1 y −37.5 kip en la barra 2, ambas en compresión, y ΣFx = 20 + 10 − 30 = 0 y ΣFy = −30 + 7.5 + 22.5 = 0. Por equilibrio del nudo 3, −0.8·N_1 + 0.8·N_2 + 20 = 0 y −0.6·N_1 − 0.6·N_2 − 30 = 0 dan las mismas dos fuerzas.

Un pórtico exige flexión, así que tome una barra de longitud L, empotrada en el nudo 1 y cargada con P hacia abajo en el nudo 2. La carga no tiene parte axial: la fila axial contiene solo EA/L, nada la acopla a las otras y su movimiento resulta nulo. Las otras dos filas libres, para v_2 y θ_2, son K_FF = [12EI/L³ −6EI/L²; −6EI/L² 4EI/L] con P_F = [−P; 0]. El multiplicador es l = (−6EI/L²)/(12EI/L³) = −L/2; restar l veces la primera fila de la segunda deja EI/L donde estaba 4EI/L y −PL/2 a la derecha. La sustitución hacia atrás da θ_2 = −PL²/(2EI) y v_2 = −PL³/(3EI), el giro y la flecha de libro de texto en el extremo, y las reacciones en el nudo 1 son P hacia arriba y PL en sentido antihorario.

Cómo leer las matrices. Cada matriz y cada vector tiene sus filas y columnas nombradas por GDL: 3y es el movimiento según y del nudo 3 y 2θ el giro del nudo 2. La fila d de K es la ecuación de equilibrio del GDL d. La columna d es el conjunto de fuerzas, en todos los GDL, que mantienen la estructura en la forma de un movimiento unitario del GDL d con todos los demás sujetos, de modo que el término de la fila a y la columna b es la fuerza en a cuando b se mueve una unidad.

La unidad de un término sale de sus dos GDL: una fuerza por longitud entre dos movimientos (kip/ft, o kN/m), una fuerza por radián entre un movimiento y un giro (kip/rad, kN/rad) y un momento por radián entre dos giros (kip·ft/rad, kN·m/rad).

K es simétrica: la fuerza en a por un movimiento unitario de b es la fuerza en b por un movimiento unitario de a, que es la reciprocidad de Maxwell y Betti, y la herramienta lo comprueba. Ningún término de la diagonal es negativo. Un cero fuera de la diagonal significa que mover un GDL no exige fuerza en el otro: ninguna barra une sus nudos, o la barra que los une no tiene rigidez en esa dirección (una barra horizontal y un movimiento transversal a ella), o los términos se cancelaron, como los términos cruzados del ejemplo. Antes de poner los apoyos, K no tiene inversa: un movimiento de toda la estructura como cuerpo rígido no exige fuerza alguna, así que K·u es cero para él, sean cuales sean las cargas. Los apoyos eliminan esos movimientos, y K_FF se puede resolver.

Dentro de la matriz de una barra, los términos axiales y los de flexión no comparten ninguna celda en ejes locales, porque estirar una barra no la flexiona; el giro a ejes globales los mezcla. La herramienta señala los términos axiales y de flexión de k, las celdas donde cae una barra en el ensamblaje y las que recibieron más de una, y en la eliminación el pivote, las celdas que lleva a cero y las que cambia.

Los términos son rigideces físicas. Para una columna de altura h empotrada en el pie, 12EI/h³ es la fuerza que desplaza su cabeza una unidad con la cabeza sin poder girar. Una viga que no gira, sobre dos columnas de ese tipo que no pueden acortarse, da una rigidez de 24EI/h³, así que una fuerza horizontal H desplaza el conjunto Hh³/(24EI).