Flecha y pretensión de cables colgantes

Un cable sin rigidez a la flexión lleva tensión a lo largo de su propia curva y nada más. Sobre él no actúa ninguna carga horizontal, de modo que la componente horizontal de la tensión, H, es la misma en todos sus puntos, y la componente vertical en un punto es la carga soportada entre el punto más bajo y ese. H es la pretensión en el sentido usual, y junto con las cargas fija toda la forma. Sea cual sea el valor que usted dé (la flecha al centro de la luz o bajo el apoyo más bajo, la propia H, la tensión en el apoyo superior o en el inferior, o la longitud sin estirar), la calculadora lo convierte en la H que lo produce, y todo lo demás se deduce de H.

Cuando la carga es uniforme en la horizontal, como la de un tablero o una tubería colgados del cable, la curva es una parábola. Para una luz L a nivel y una flecha d al centro, H = qL²/(8d), con q la carga por unidad de longitud horizontal. Cada apoyo recibe una reacción vertical qL/2, y la mayor tensión, en los apoyos, es T_max = √(H² + (qL/2)²). La longitud del cable es S = L(1 + 8/3 (d/L)² − 32/5 (d/L)⁴ + …), y por eso un cable poco flechado es apenas más largo que su luz.

Con la cuerda inclinada, un apoyo a una altura h sobre el otro y L siempre la distancia horizontal, la flecha d es la distancia vertical del cable bajo la cuerda en el punto medio de la luz, y H = qL²/(8d) sigue valiendo igual. Lo que cambia es el reparto de la carga: el apoyo más alto recibe qL/2 + Hh/L y el más bajo qL/2 − Hh/L. La tensión en un apoyo es √(H² + V²), con V su reacción vertical. Cuando h es mayor que 4d la reacción del apoyo bajo es negativa, y entonces el cable parte de ese apoyo hacia arriba.

Un cable cargado por su peso w por unidad de LONGITUD del propio cable cuelga como una catenaria, y = a(cosh(x/a) − 1), medida desde el punto más bajo, con a = H/w. Para una luz a nivel la flecha es d = a(cosh(L/2a) − 1), la longitud es S = 2a sinh(L/2a), y la tensión en un punto a una altura y sobre el más bajo es T = wa cosh(x/a) = H + wy, de modo que T_max = H + wd en los apoyos. No existe una forma cerrada para a a partir de d, y la calculadora la resuelve numéricamente; con la cuerda inclinada la misma curva la cortan los dos apoyos, y su punto más bajo puede quedar fuera de la luz.

Con el peso del cable y una carga repartida en la luz a la vez, ninguna de las dos curvas es la exacta. La calculadora resuelve el equilibrio de un elemento de cable, H z″ = q + w√(1 + z′²), y da esa forma exacta, con el estiramiento del cable incluido cuando se dan un módulo y un área. A su lado va la parábola que resulta de repartir el peso del cable sobre la horizontal, q + w por unidad, para poder compararlas.

Las dos curvas coinciden de cerca en un cable poco flechado. Para un cable a nivel bajo su peso, la H de la parábola, la mayor tensión o la flecha central se aparta del valor exacto en 1 % con una flecha de cerca de 0.085 de la luz, y en más a partir de ahí. La página lo avisa entonces, y la columna exacta es la que se lee.

Un cable elástico se estira bajo tensión: un elemento de longitud sin estirar ds pasa a ds(1 + T/EA), con E el módulo y A el área metálica. La longitud estirada se suma a lo largo del cable, elemento por elemento, y no se toma de una tensión media.

Un cambio de estado sigue un mismo cable del estado 1 al estado 2: otra carga, otra temperatura, o ambas. Lo que une los dos estados es la longitud sin tensión, que solo cambia con la temperatura, L₀₂ = L₀₁(1 + αΔT), con α el coeficiente de dilatación térmica. Para una parábola a nivel, tomando la longitud cargada como L + q²L³/(24H²) y la deformación como H/EA, longitudes sin tensión iguales dan una cúbica en la nueva tensión horizontal: (K/EA)H₂³ + (K − 1)H₂² − q₂²L²/24 = 0, donde K = (1 + αΔT)(1 + q₁²L²/(24H₁²))/(1 + H₁/EA). Una carga mayor o una temperatura menor aumenta H; una carga menor o una temperatura mayor la disminuye. Para la catenaria y el cable combinado la calculadora resuelve las longitudes exactas de ambos estados, sin esas aproximaciones, y muestra junto a ellas el resultado de la parábola.

Un cable que lleva cargas verticales separadas es recto entre ellas: un polígono funicular. El momento flector M(x) que las mismas cargas causan en una viga simplemente apoyada de luz L es igual a H por la distancia vertical s(x) de la cuerda al cable, H s(x) = M(x). Una sola flecha fija entonces H, H = M(x₀)/s₀ en la posición x₀ donde se da, y x₀ no necesita llevar carga. La flecha en cada carga es luego M/H, la pendiente de cada tramo se deduce de las flechas a uno y otro lado, y su tensión es T = H√(1 + pendiente²). La mayor tensión está en el tramo más empinado, que es el contiguo a un apoyo cuando todas las cargas son hacia abajo. En lugar de una flecha se puede dar H, o la mayor tensión.

Dos casos cuya respuesta se conoce en forma cerrada, para contrastar la página.

Una carga P al centro de una luz L a nivel, con el cable a una flecha d bajo la cuerda justo debajo de ella: H = PL/(4d), cada tramo tiene una componente vertical P/2, y la tensión en ambos es T = √(H² + (P/2)²).

Un cable a nivel de peso w por unidad de longitud, con a = H/w elegido de modo que L/(2a) = 1: la flecha es d = a(cosh 1 − 1), la longitud S = 2a sinh 1, y la tensión en los apoyos T_max = wa cosh 1. Es un caso en que el valor de partida es a y no la flecha.