Tensión y alargamiento de cables bajo una carga

Un cable recto y sin peso transmite una sola cosa, una tensión T a lo largo de su longitud, igual en todos sus puntos. No puede empujar, de modo que T nunca es negativa; cuando el equilibrio le pediría a un cable que empujara, la página lo dice y no da ningún número. Los tres problemas se resuelven por separado y comparten un mismo cable, descrito por su área A, su módulo E y su coeficiente de dilatación térmica α.

En una eslinga, un peso W cuelga del punto donde se unen dos ramales, cada uno un cable que sube hasta su anclaje con un ángulo respecto a la horizontal. El punto está en equilibrio cuando las dos tensiones, el peso y cualquier fuerza horizontal H se anulan entre sí según x y según y: dos ecuaciones para dos tensiones. Salen de la estática sola, y el tamaño y el material del cable no intervienen en ellas. Con dos ramales del mismo ángulo θ respecto a la horizontal y sin H, cada uno lleva T = W/(2 sen θ). Eso crece sin límite a medida que los ramales se aplanan: a 30° cada ramal lleva todo W, y cuanto más cerca de la vertical están los ramales, más se acerca cada tensión a la mitad de W. Dos ramales exactamente verticales están en una misma recta y la carga no puede repartirse entre ellos, así que se rechazan. Con ángulos distintos, o con una H, las mismas dos ecuaciones se resuelven para las dos tensiones. Un ramal solo no tiene una segunda ecuación que cumplir: toma la dirección del tirón combinado del peso y de la fuerza horizontal, por lo que su ángulo sale del cálculo y T = √(W² + H²).

Con su tensión conocida, el resto es aritmética elástica. El esfuerzo es σ = T/A y la deformación unitaria ε = σ/E. Sobre una longitud L el cable se alarga δ = TL/(AE), que es εL. En un cable trenzado, A es el área metálica, una fracción del círculo que dibuja su diámetro: la página toma A = kd², con un factor k para cada construcción, y πd²/4 para una barra redonda maciza.

Los materiales, cables trenzados y torones que se ofrecen traen valores típicos de módulo, coeficiente de dilatación y factor de área metálica. Son para una primera estimación y nada más; el valor que debe usarse es el del fabricante del cable que usted tiene, escrito en lugar del típico. Un cable de acero trenzado es el caso que hay que vigilar: su módulo en servicio ronda la mitad del acero de sus alambres, porque al entrar la carga los torones se alinean y se acomodan entre sí. Con el módulo del acero, el alargamiento de un cable trenzado sale cerca de la mitad del real.

Un cambio de temperatura ΔT alarga un cable que no está restringido en δ = αLΔT, y el alargamiento que da la página es ese más el elástico. Si los dos extremos no pueden moverse en absoluto, el cable no puede cambiar de longitud y el cambio de temperatura aparece como una fuerza, EAαΔT: de compresión cuando se calienta, que un cable no puede llevar y por eso se afloja, y de tensión cuando se enfría. La página da esa fuerza para cada cable como si los extremos de ese cable estuvieran sujetos, y la suma a la tensión de la carga para mostrar lo que el cable llevaría.

Cada ramal de una eslinga se alarga su propio δ, y el punto de carga se desplaza. A primer orden, el desplazamiento d obedece a −u · d = δ para cada ramal, donde u es el vector unitario del punto de carga al anclaje: la distancia a un anclaje crece lo que se alarga su ramal. La página da también la posición exacta, el punto donde se cortan dos circunferencias con centro en los anclajes y como radios las longitudes alargadas de los ramales, el más cercano al punto inicial. Las dos coinciden cuando el alargamiento es pequeño frente a los ramales, y su diferencia es el error del método de primer orden. Como los ramales han girado, las tensiones ya no son las de la primera geometría; la página las calcula de nuevo en la posición desplazada, como resultado de segundo orden, y da el cambio. Un ramal solo se mueve a lo largo de sí mismo lo que se alarga, de forma exacta.

Para jalar un bloque contra la fricción, el bloque pesa W y descansa sobre una superficie que sube un ángulo θ en la dirección del tiro; el cable lo jala con un ángulo φ sobre la superficie, que no es el ángulo sobre la horizontal (ese es θ + φ). El cable levanta el bloque con T sen φ, así que la fuerza que lo aprieta contra la superficie es N = W cos θ − T sen φ, y la fricción es μN. A lo largo de la superficie, con el bloque a punto de moverse o moviéndose a velocidad constante, T cos φ = W sen θ + μN. Eliminando N queda T = (sen θ + μ cos θ)W/(cos φ + μ sen φ). Se usan dos coeficientes: el estático para el tiro que inicia el movimiento y el cinético para el que lo mantiene. Con una aceleración a a lo largo de la trayectoria, la inercia a/g se suma al término de fricción del numerador: T = (sen θ + μ cos θ + a/g)W/(cos φ + μ sen φ). Cuando el cable retiene al bloque mientras este se mueve en sentido contrario, cuesta abajo por ejemplo, la fricción también actúa al revés, los términos en μ y en a/g cambian de signo, y a se toma en el sentido del movimiento: T = (sen θ − μ cos θ − a/g)W/(cos φ − μ sen φ).

Solo el denominador depende de φ, y es máximo donde tan φ = μ. El tiro es mínimo, entonces, con el cable en el ángulo de fricción sobre la superficie, φ = arctan μ, sea cual sea la pendiente y sea cual sea la aceleración. Ahí el denominador es √(1 + μ²) y T = (sen θ + μ cos θ)W/√(1 + μ²). La curva de T contra φ que dibuja la página es plana cerca de ese mínimo, de modo que unos grados a un lado u otro cambian poco.

Tres cosas pueden hacer que la fórmula no signifique nada, y la página dice cuál. Si la T que pide hace negativa a N, el bloque se despegaría de la superficie y ya no hay fricción de la que hablar: el caso se rechaza, con el ángulo a partir del cual el cable levanta el bloque, que en reposo o a velocidad constante es el ángulo en que el cable está vertical. Si cos φ + μ sen φ es cero o menos, como cuando el cable aprieta el bloque contra la superficie con un ángulo pronunciado, cuanto más jala más agarra la fricción, ninguna tensión mueve el bloque y la página dice que el cable se autobloquea. Y donde la componente del peso paralela a la superficie ya vence a la fricción en el sentido del movimiento, no hace falta tiro y el bloque se mueve solo: la página da entonces la tensión de un cable que lo retiene.

La página resuelve hasta tres tiros: el que inicia el movimiento (coeficiente estático), el que lo mantiene a velocidad constante (coeficiente cinético) y, cuando se escribe una aceleración, el que le da esa aceleración. El mayor es el que gobierna, y el esfuerzo y el alargamiento del cable se calculan con esa tensión, con la sección, la longitud y el cambio de temperatura dados.

Un cable enrollado sobre un tambor que no gira, con un ángulo de abrazo β en radianes, está a punto de deslizar cuando las tensiones en sus extremos guardan la relación T_big = e^(μβ) T_small. Sale de un elemento pequeño: en un arco dβ la tensión cambia dT = μT dβ, y sumando los arcos resulta la exponencial. El radio del tambor no aparece, solo el ángulo abrazado y el coeficiente de fricción, estático donde el cable está a punto de deslizar y cinético donde desliza. Cualquier relación hasta esa la sostiene la fricción; es el límite. Cada vuelta completa multiplica la relación por el mismo factor, e^(2πμ). Exactamente una de las cuatro cantidades, las dos tensiones, μ y el abrazo, se deja en blanco y la página la resuelve. La fuerza del cable sobre el tambor es la suma vectorial de las dos tensiones.

Tres casos de solución cerrada, para comprobar las respuestas a mano.

Un cable de longitud L, área A y módulo E cuelga en vertical con un peso W: T = W, σ = W/A y δ = WL/(AE). Sujeto por los dos extremos y enfriado ΔT, el mismo cable lleva una tensión EAαΔT. Una eslinga con dos ramales a θ sobre la horizontal, uno a cada lado, tiene T = W/(2 sen θ) en cada ramal, y a 30° eso es W.

Un bloque jalado sobre suelo horizontal con el mejor ángulo, φ = arctan μ, necesita T = μW/√(1 + μ²), y la fuerza que lo aprieta contra el suelo es N = W/(1 + μ²).

En un tambor la relación para n vueltas es e^(2πnμ): la relación de dos vueltas es el cuadrado de la de una.