Viga continua sobre varios apoyos

La viga se resuelve por el método directo de la rigidez, con un elemento de viga por cada vano. Cada nudo, un extremo de vano, tiene dos desplazamientos: su deflexión y su giro. En un apoyo la deflexión es conocida — cero, o el asentamiento introducido — y en un extremo empotrado lo es también el giro. Los giros restantes son las incógnitas, con una ecuación para cada uno: los momentos de extremo de los vanos que concurren en ese apoyo suman cero.

Las cargas de un vano entran en esas ecuaciones como sus momentos de empotramiento perfecto, en forma cerrada: una carga puntual P situada a la distancia a de un extremo y b del otro da Pab²/L² en el primero, y una carga que varía linealmente sobre cualquier parte del vano da esa misma expresión integrada. Un asentamiento entra del mismo modo: un vano con uno de sus apoyos asentado δ más que el otro, y con el giro de sus extremos impedido, recibe 6kEIδ/L² en cada extremo, siendo k su factor de rigidez. Un vano extremo cuyo extremo queda libre es un voladizo desde su apoyo; la estática da el momento que lleva a ese apoyo, y no añade ninguna incógnita.

Conocidos sus dos momentos de extremo, cada vano es una viga simplemente apoyada con sus propias cargas y esos dos momentos, y dentro de él el cortante, el momento, el giro y la deflexión son fórmulas cerradas evaluadas en el punto pedido. No se interpola nada entre nudos. Un valor máximo que cae entre dos cargas o apoyos se localiza sobre el propio polinomio, donde su derivada cambia de signo, y se evalúa allí.

Para una viga, esto es el método de los elementos finitos, con un vano por elemento. Y con un elemento por vano no se pierde nada. Una malla es aproximada cuando sus elementos no pueden adoptar la deformada real. Un elemento de viga de rigidez constante sí puede: entre dos nudos, un vano sin carga se deforma según una cúbica, que es la forma propia del elemento, y lo que las cargas añaden dentro del vano se repone en forma cerrada. Reacciones y diagramas de vigas llega al mismo resultado sin ningún elemento, como dice su página; en una viga que ambas pueden describir, las dos calculadoras coinciden, salvo donde un valor es tan pequeño que la otra página lo da como 0.

Tomar la carga viva en cada disposición — la alternancia de cargas — significa que la carga viva de cada vano está en ese vano o no está, lleven lo que lleven los demás: 2ⁿ disposiciones para n vanos con carga viva, 256 para ocho. Las cargas muertas y los asentamientos están en todas.

Como la viga es lineal, las disposiciones no se resuelven una por una. Se resuelve una vez con lo que siempre está y una vez con la carga viva de cada vano por separado. En cualquier punto, el valor más alto de una respuesta es el primero de esos resultados más el efecto de cada vano que lo aumenta allí, y el más bajo es el primero más cada efecto que lo reduce: los extremos de todas las disposiciones, exactamente.

Cada valor máximo entre las disposiciones va acompañado de los vanos cuya carga viva está presente cuando ocurre. Un vano cuya carga viva no tiene efecto sobre un valor no figura junto a él: ninguna carga de otro vano, por ejemplo, produce cortante ni momento en un voladizo.

Cuatro resultados para verificar a mano: vanos iguales de longitud L y una misma rigidez EI, sobre apoyos simples.

Dos vanos con una carga uniforme w: −wL²/8 sobre el apoyo central; reacciones 3wL/8, 5wL/4 y 3wL/8; momento positivo máximo 9wL²/128, a 3L/8 de cada extremo.

Tres vanos con w: −wL²/10 sobre cada apoyo intermedio; reacciones 2wL/5, 11wL/10, 11wL/10 y 2wL/5; momentos positivos máximos 2wL²/25 en los vanos extremos y wL²/40 en el central.

Dos vanos sin carga cuyo apoyo central se asienta δ: un momento positivo 3EIδ/L² sobre él; cada reacción extrema aumenta 3EIδ/L³ y la central disminuye 6EIδ/L³.

Dos vanos con una carga viva w en cada disposición: momento positivo máximo 49wL²/512, a 7L/16 de un extremo, con solo ese vano cargado; −wL²/8 sobre el apoyo central con ambos.