Calculadora
Un eje redondo torneado en escalones, macizo o hueco, sobre dos cojinetes, con fuerzas y momentos aplicados que actúan en dos planos a la vez. En cada cojinete, su carga radial y el giro del eje; en cada tramo, el momento flector máximo y su esfuerzo nominal; y la deflexión en cualquier punto, en uno u otro plano o en los dos juntos.
- Eje
- Escalonado
- Cargas
- Fuerzas y momentos aplicados, en dos planos
- En cada cojinete
- Carga radial y giro
Hoja de cálculo
Eje sobre cojinetes, en dos planos
ttcivilstructural.com/es/resources/shaft-on-bearings
El eje
Eje, cojinetes y cargas · las cargas de los dos planos como una sola magnitud cada una, sin dirección
Ambos planos: cada diagrama es la magnitud de los valores de los dos planos en ese punto, √(vertical² + horizontal²). Una magnitud nunca es negativa.
Cojinetes
| Cojinete | Posición (in) | Reacción vertical (lbf) | Reacción horizontal (lbf) | Carga radial (lbf) | Giro, ambos planos (rad) |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 357.1 hacia arriba | 180 hacia el fondo | 399.9 | 0.000442 |
| 2 | 16 | 1 043 hacia arriba | 180 hacia el fondo | 1 058 | 0.0002519 |
Las reacciones equilibran las fuerzas en cada plano: 1 400 lbf hacia abajo en el vertical y 360 lbf hacia el observador en el horizontal.
Tramo por tramo
| Tramo (in) | Diámetro (in) | Momento de inercia, I (in4) | Módulo de sección, Z (in3) | Momento flector máximo (lbf·in) | Esfuerzo nominal de flexión (ksi) |
|---|---|---|---|---|---|
| 1: 0 – 4 | 1.5 | 0.2485 | 0.3313 | 799.9 en x = 4 in | 2.414 |
| 2: 4 – 14 | 2 | 0.7854 | 0.7854 | 2 800 en x = 9 in | 3.565 |
| 3: 14 – 18 | 1.5 | 0.2485 | 0.3313 | 2 000 en x = 16 in | 6.036 |
| 4: 18 – 23 | 1.25 | 0.1198 | 0.1917 | 1 200 en x = 18 in | 6.258 |
Esfuerzo nominal: el mayor momento de un tramo entre el módulo de sección, Z, de ese mismo tramo. No incluye ningún concentrador de esfuerzos: ni el radio de acuerdo de un hombro, ni una ranura, ni un chavetero.
En cada fuerza
| Fuerza | Posición (in) | Deflexión, ambos planos (in) | Deflexión vertical (in) | Deflexión horizontal (in) | Giro, ambos planos (rad) |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 9 | 0.001667 | 0.001371 hacia abajo | 0.0009491 hacia el observador | 7.316 × 10^−5 |
| 2 | 21 | 0.003573 | 0.003386 hacia abajo | 0.001139 hacia el fondo | 0.001093 |
Valores máximos
- Momento flector, M
- 2 800 lbf·in en x = 9 in
- Esfuerzo nominal de flexión
- 6.258 ksi en x = 18 in, tramo 4
- Deflexión
- 0.005751 in en x = 23 in
- Giro
- 0.001093 rad en x = 21 in
Cada uno es la magnitud de los dos planos juntos.
Valores en un punto
| Plano vertical | Plano horizontal | Ambos planos | |
|---|---|---|---|
| Cortante, V (lbf) | -642.9 | -180 | 667.6 |
| Momento flector, M (lbf·in) | 892.9 | 810 | 1 206 |
| Deflexión (in) | -0.0009186 | -0.0007968 | 0.001216 |
| Giro (rad) | 0.0002594 | 0.0001136 | 0.0002832 |
- Diámetro
- 2 in
- Esfuerzo nominal de flexión
- 1.535 ksi
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Método
Cómo se resuelve el eje
El eje se resuelve en dos planos, el vertical y el horizontal, cada uno por separado. En cada uno, los dos cojinetes son apoyos simples y las cargas son las componentes de ese plano: la de cada fuerza, la de cada momento aplicado y, en el plano vertical, el peso propio del eje cuando se cuenta. Con dos apoyos simples nada queda indeterminado: las dos reacciones salen de las dos ecuaciones de equilibrio, y el cortante y el momento flector en una sección, de las fuerzas que quedan a un lado de ella. Los diámetros no entran en nada de esto, salvo por el peso del eje.
En el giro y en la deflexión es donde cuentan los diámetros. El eje se corta en cada hombro, cojinete, fuerza y momento aplicado, y en cada trozo el momento flector de un plano es un solo polinomio — una recta, o una parábola bajo el peso propio del eje — sobre una sola rigidez a flexión EI, con I = π(D⁴ − d⁴)/64 para un diámetro exterior D y un diámetro interior d. Integrar M/EI una vez da el giro, a lo sumo una cúbica, y otra vez la deflexión, a lo sumo de cuarto grado: fórmulas cerradas, escritas término a término y evaluadas donde se piden, sin integración numérica y sin interpolación. El giro y la deflexión pasan sin salto de un trozo al siguiente, lo mismo por un hombro que por un momento aplicado, y las dos constantes de integración quedan fijadas porque la deflexión es cero en los dos cojinetes.
Una sección siente los dos planos a la vez. La resultante — la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las dos componentes — se toma por igual del cortante, del momento flector, del giro y de la deflexión. En una sección redonda eso es exacto: su momento de inercia es el mismo respecto a cualquier diámetro, de modo que los momentos de los dos planos son un solo momento respecto a un solo diámetro. La deflexión resultante es cuánto se ha desplazado el centro de la sección, y el giro resultante, el ángulo que ha girado su eje, sea cual sea la dirección de una y de otro; la carga radial de un cojinete es la resultante de sus dos reacciones.
El esfuerzo de flexión es el momento resultante entre el módulo de sección del tramo en que está la sección, Z = π(D⁴ − d⁴)/(32D). En un hombro donde no hay un momento aplicado, el momento es un solo valor y la sección son dos, así que el esfuerzo tiene allí dos valores, el mayor del lado del módulo menor. A cada tramo se le da el momento máximo dentro de su propia longitud entre su propio módulo, y el esfuerzo máximo del eje es el mayor de esos: puede estar en un hombro, lejos del momento máximo, como en el ejemplo con que se abre la página.
La resultante máxima no está, en general, donde alcanza su máximo el diagrama de uno u otro plano. En cada trozo la suma de los cuadrados de lo que vale cada plano es un polinomio, y los máximos del momento, del giro y de la deflexión se buscan en los cambios de signo de su derivada, y en los extremos de los trozos: cada uno es el valor en el punto con que se da, no el mayor de los puntos dibujados.
Para comprobar la página a mano, cuatro ejes con fórmula cerrada. L es la distancia entre los dos cojinetes, y un eje de un solo diámetro macizo D tiene I = πD⁴/64.
Un solo diámetro, una fuerza P a media distancia entre los cojinetes: cada reacción P/2; deflexión bajo la fuerza PL³/(48EI); giro en cada cojinete PL²/(16EI).
Un solo diámetro, una fuerza P en voladizo, a una distancia a de un cojinete: ese cojinete recibe P(L + a)/L y el otro Pa/L en sentido contrario; momento Pa en el cojinete cercano; deflexión bajo la fuerza Pa²(L + a)/(3EI).
El primer caso con P a 45° entre los dos planos: cada plano recibe P/√2 y da 1/√2 de aquella deflexión y de aquel giro; las resultantes son las del primer caso, enteras.
El primer caso en un eje escalonado, con rigidez nEI en su mitad central y EI en sus dos cuartos extremos: deflexión bajo la fuerza PL³(1 + 7/n)/(384EI); giro en cada cojinete PL²(1 + 3/n)/(64EI).
Qué supone
- Un eje recto de sección redonda, maciza o hueca, con su diámetro interior concéntrico. Sus diámetros cambian en un punto: cada tramo tiene una sola sección de un extremo al otro, sin conicidad y sin radio de acuerdo.
- Un solo material, elástico lineal, con un mismo módulo E en todos los tramos.
- Dos cojinetes, cada uno un apoyo simple en un punto del eje: impide que el eje se desplace transversalmente y no cede, y lo deja girar allí.
- Deflexiones pequeñas, y solo flexión (Euler–Bernoulli): la fuerza cortante no añade nada a la deflexión.
- Solo cargas transversales al eje: fuerzas y momentos aplicados en puntos, y el peso del eje cuando se cuenta. No se admite fuerza axial ni par de torsión; la fuerza axial que recibe un engranaje se introduce como el momento que produce al actuar en su radio.
- Un cálculo estático: las cargas de un instante, sin nada de la rotación.
Qué no hace
- Es mecánica y nada más: ninguna norma de diseño, ningún factor sobre una carga ni sobre un esfuerzo, ningún veredicto. Si un giro, una deflexión o un esfuerzo sirven, lo dice usted.
- Sin torsión. No se introduce un par de torsión, no se calcula el esfuerzo cortante que produciría, y nada se combina con el esfuerzo de flexión.
- Sin fatiga. El esfuerzo de flexión es el estático, aunque en un eje que gira bajo cargas de dirección fija se invierte en cada vuelta.
- Sin concentración de esfuerzos. El esfuerzo es nominal — el momento entre el módulo de la sección lisa — en un hombro, un chavetero, una ranura o un ajuste a presión igual que en cualquier otro punto.
- Sin velocidad crítica ni vibraciones; y sin vida de cojinetes: aquí no se elige ni se dimensiona ningún cojinete. La carga radial y el giro en cada uno son los valores con los que se consultan los datos del propio cojinete.
- Dos cojinetes y no más. Con tres el eje es hiperestático, y aquí no se resuelve; tampoco un cojinete que impide el giro, como un casquillo largo o dos cojinetes montados muy juntos.
- Sin deformación por cortante, que es mayor en un eje corto y grueso; sin conicidad; y sin la rigidez que añade un cubo, un engranaje o un aro montado a presión.
- Un tramo de menos de una millonésima de la longitud del eje, un tramo con más de un millón de veces la rigidez de otro y dos cojinetes separados menos de una milésima de lo que mide el eje no se resuelven: el dato queda señalado en el formulario y los resultados no se dan.
- El peso propio del eje es una carga solo cuando usted lo incluye. Cada tramo pesa entonces su densidad por su área de metal, una carga uniforme en el plano vertical: el peso de un eje que está horizontal.
Signos y unidades
- Toda posición es una distancia desde el extremo izquierdo del eje: la de un cojinete, la de una fuerza, la de un momento aplicado.
- El plano vertical es el eje visto de lado, y el plano horizontal el eje visto desde arriba, con su extremo izquierdo a la izquierda en ambos. Una fuerza es una magnitud en cada plano con el sentido en que actúa: hacia abajo o hacia arriba; hacia el observador, que está junto al eje, o hacia el fondo.
- Un momento aplicado es una magnitud en cada plano con el sentido en que gira, antihorario u horario, tal como se dibuja ese plano. Una magnitud escrita con signo menos actúa en el sentido contrario, tanto en una fuerza como en un momento.
- En Valores en un punto cada plano conserva sus signos. En el plano vertical, el cortante es positivo donde el eje a la izquierda de la sección es empujado hacia arriba, el momento donde el eje se comba hacia abajo y la deflexión donde el eje ha subido. En el plano horizontal, el cortante es positivo donde el eje a la izquierda de la sección es empujado hacia el fondo, el momento donde el eje se comba hacia el observador y la deflexión donde el eje se ha movido hacia el fondo. Para un giro, positivo es el sentido antihorario tal como se dibuja su plano.
- Ambos planos muestra magnitudes: todo valor es allí el de los dos planos juntos y nunca negativo, porque la dirección de una resultante va cambiando a lo largo del eje y no tiene signo.
- La carga radial de un cojinete son sus dos reacciones tomadas juntas como una sola magnitud; el giro allí son sus dos giros tomados del mismo modo, en radianes.
- Una deflexión se mide desde la recta que pasa por los dos cojinetes, que no se mueven.
- En el dibujo del eje, las longitudes están a la escala de los diagramas que tiene debajo. Los diámetros guardan su proporción entre sí, pero no siempre están a esa escala: un eje corto y grueso se dibuja más esbelto de lo que es, y uno largo y delgado, más grueso.
- Longitudes, diámetros y deflexiones en pulgadas o milímetros; fuerzas en libras-fuerza o newtons; momentos en lbf·in o N·m; el módulo E y cada esfuerzo en ksi o MPa; giros en radianes en ambos sistemas.
- Una densidad en lb/in³ se lee como un peso, lbf/in³; una en kg/m³ se multiplica por la gravedad estándar, 9.80665 m/s².
Úsela como la usaría un ingeniero
Esta calculadora es una ayuda para quien está capacitado para juzgar sus resultados. No es una opinión de ingeniería sobre ninguna estructura y se ofrece sin garantía. Compruebe los resultados por medios independientes: una decisión de diseño se apoya en su propia comprobación, nunca en esta calculadora. Tercero Tablada Civil and Structural Engineering Inc. no preparó, revisó ni selló lo que se calcula con ella, y no asume ninguna responsabilidad por sus resultados ni por el uso que se haga de ellos.
Elaborada con la calculadora de ejes de Tercero Tablada Civil and Structural Engineering Inc. — ttcivilstructural.com/es/resources/shaft-on-bearings