Fuerzas en barras de cerchas planas

Una barra articulada en sus dos extremos, sin carga a lo largo de ella, solo puede transmitir una fuerza a lo largo de su propio eje. Cada barra representa entonces una incógnita, su fuerza axial N, positiva a tensión. Todo nudo, con sus cargas y el tirón o el empuje de cada barra que llega a él, debe estar en equilibrio: las fuerzas sobre él suman cero en x y en y. Con j nudos son 2j ecuaciones, y las incógnitas son las m fuerzas de las barras y las r reacciones de los apoyos.

Cuando m + r = 2j y la cercha es estable, hay tantas ecuaciones como incógnitas y el equilibrio por sí solo da todas las fuerzas. Eso es lo que hace a mano el método de los nudos, un nudo tras otro; aquí todos los nudos se resuelven juntos. La sección y el módulo de una barra no aparecen en esa solución: una cercha isostática lleva las mismas fuerzas en acero que en aluminio, y con cualquier tamaño de sección. Se piden solo para calcular después el esfuerzo, el alargamiento y el desplazamiento.

Cuando m + r es mayor que 2j la cercha es hiperestática, y el equilibrio ya no dice cómo se reparte la carga. El método de rigidez directa aporta la compatibilidad que falta. Las incógnitas son los desplazamientos de los nudos; una barra cuyos extremos se separan δ a lo largo de su eje lleva N = (EA/L)δ, para una longitud L, un módulo E y un área A; y la matriz de rigidez de la cercha es la suma de las de las barras. Resolver ese sistema da los desplazamientos y luego cada N. Las fuerzas dependen ahora de cómo se comparan entre sí los EA/L de las barras: multiplicar todos los EA por un mismo factor no cambia ninguna fuerza. Si solo a algunas barras se les da sección, la calculadora toma EA igual en todas y lo dice.

Un apoyo articulado impide que su nudo se mueva en cualquier dirección y por eso da dos componentes de reacción. Un apoyo de rodillo se lo impide a lo largo de una sola recta, y da una fuerza sobre ella. Un rodillo con cualquier ángulo se trata de forma exacta, tomando el desplazamiento de su nudo en la recta que deja abierta; ningún resorte rígido lo sustituye.

Antes de resolver, la calculadora pregunta si la cercha podría desplazarse conservando cada barra su longitud, lo que depende de la geometría y de los apoyos y nunca de E ni de A. Si puede, porque a un panel le falta la diagonal, o los apoyos la sujetan en muy pocas direcciones, o una parte puede girar por sí sola, no se da ninguna fuerza: se nombran los nudos que pueden moverse. Contar m + r frente a 2j no lo decide, porque una cercha puede cumplir esa cuenta y ser un mecanismo.

La página también enumera las barras que no llevan nada por simple inspección. En un nudo sin carga y sin apoyo, dos barras que no están en una misma recta llevan cero las dos; y si un nudo sin carga y sin apoyo tiene dos barras alineadas y una tercera que las cruza, esa tercera lleva cero. Esas barras se apartan y la regla se aplica de nuevo en el nudo siguiente, de modo que la lista puede seguir.

El equilibrio del conjunto se comprueba sobre la respuesta: las cargas y las reacciones juntas se suman en x, en y y en momento respecto al centro de la cercha, y se halla la mayor fuerza que queda sin equilibrar en un nudo. Cada una es redondeo, y una respuesta en que no lo son no se da.

Las formas que se ofrecen para empezar (triángulo, pendolón, dos pendolones, Pratt, Howe, Warren con y sin montantes, Fink y un voladizo desde un muro) llenan el formulario con nudos, barras, apoyos y cargas para una luz, un peralte y un número de paneles. La cordón inferior está sobre y = 0. La carga que usted escribe es la de cada nudo a lo largo de la cordón superior, con la mitad de ella en el nudo de cada extremo del cordón, donde lo hay; los apoyos son uno articulado a la izquierda con uno de rodillo a la derecha, o al revés, o uno articulado a cada lado. En una cercha Pratt las diagonales bajan hacia el centro, y en una Howe suben hacia él. Un valor con el que una forma no puede construirse, como un número impar de paneles en una Pratt, se sustituye por el más cercano que sí puede, y el formulario dice qué cambió. Después todo se puede editar: una forma es un punto de partida y no una recomendación.

Dos casos con fórmula cerrada, para contrastar las respuestas.

Un triángulo de luz L y altura h, con una carga P en el vértice y un apoyo articulado y uno de rodillo en los extremos: cada reacción es P/2; cada barra inclinada está a compresión con Ps/(2h), donde s = √((L/2)² + h²) es su longitud; el tirante inferior está a tensión con PL/(4h).

Una barra vertical y dos inclinadas un ángulo θ a uno y otro lado de ella, todas con el mismo EA, que unen un nudo cargado con tres apoyos articulados alineados: con una carga P hacia abajo en ese nudo, la barra vertical lleva P/(1 + 2cos³θ) y cada una de las inclinadas Pcos²θ/(1 + 2cos³θ), todas a tensión. La estática sola no puede dar estos tres valores; la barra más corta toma más.